1983 yılında Kırıkkale`de doğdu. İlk ve orta öğrenimini Ankara`da tamamladı. 2005 yılında Uludağ Üniversitesi İ.İ.B.F Kamu Yönetimi Bölümünden mezun oldu.
Trabzon Tonya ve Konya Derbent İlçelerinde Kaymakam Vekili, Konya Yalıhüyük, Adana Saimbeyli Kaymakamı, Bingöl Vali Yardımcısı, Güroymak Kaymakamı, Erzurum Vali Yardımcısı ve Muş Korkut Kaymakamı olarak görev yaptı.

Muharrem Eligül,   07.08.2019 tarih ve  2019/268 sayılı Cumhurbaşkanlığı atama kararı ile 30.08.2019 tarihinde Çorum İskilip Kaymakamlığı görevine başladı.

Eligül, Nisan 2022'de İçişleri Bakanlığı tarafından Ayaş Kaymakamlığı'na görevlendirildi.

Muharrem Eligül, 15.03.2023 tarihli Resmi Gazete'de yayımlanan kararla Kültür Bakanlığı Alevi-Bektaşi Kültür ve Cemevi Başkan Yardımcılığına atandı.

24 Ağustos 2023 tarihli Resmi Gazetede yayımlanan Cumhurbaşkanlığı Kararnamesi ile Ayaş Kaymakamı olarak atandı.