1990 yılında Erzurum/Oltu/Çanakpınar Köyünde doğdu. İlk öğrenimini Oltu Atatürk İlköğretim Okulunda, lise öğrenimini Oltu Anadolu Lisesinde tamamladı.

2013 yılında Selçuk Üniversitesi Uluslararası İlişkiler bölümünden mezun oldu. 2014-2021 yılları arasında İçişleri Bakanlığı Göç İdaresi Başkanlığında İl Göç Uzmanı olarak görev yaptı.

2021 yılında İçişleri Bakanlığı tarafından yapılan Kaymakamlık sınavında başarılı olarak Ağrı Kaymakam Adayı olarak Mülki İdare Amirliği mesleğine intisap etti.

İl Merkez Stajını Ağrı Valiliğinde yaptıktan sonra Kars/Sarıkamış ve Bursa/Gürsu ilçelerinde Kaymakam Refikliği stajını tamamladı. İçişleri Bakanlığı'nın 12.08.2022 tarihli olurları ile Gündoğmuş ilçesine görevlendirilen Murat Yeşilyurt 26.08.2022 tarihinde görevine başladı. Kaymakam Murat Yeşilyurt 27.10.2025 tarihinde Çorum’un Laçin ilçesine atandı.

İngilizce bilen Yeşilyurt, evli ve üç çocuk babasıdır.